【暇つぶし】無理数進法の話→エイリアンの数学はどんな算数だろうか？

黄金率



みなさん、こんにちは。

さて、家で何もすることがない、ひょっとしたら異性とセックスするしか能がないという若者たちがいるとすれば、そういう彼らのための暇つぶしとして、一つ問題を提起してあげよう。

昨日、ステファン・ウルフラム博士兄弟の話：

の中で、計算の「脱ギリシャ化」「脱バビロニア化」の話をメモしただろう。

２を基調にする数学＝2進法

３を基調にする数学＝３進法

素数ｐを基調にする数学＝ｐ進法

１０を基調とする数学＝１０進法

こんな話のことである。

ある数を表現する場合、１０を基調として表せば、ｘ＝１０とおくと、

１０はｘ，１００はｘの２乗＝ｘ^２，１０００はｘの３乗＝ｘ^３，。。。とかける。

つまり、例えば、バックミンスター・フラーが大好きだった１００１なら、

１００１＝ｘ^３＋１

と書ける。

なぜ数が桁のある表示を持つかというと、それは１０が単なる数字の１０であるにすぎず、何かの特別のｘの多項式の解ではないからである。

かりにｘを何かのｘの多項式の解であるとしよう。

たとえば、

ｘ^２＝１

の解とする。この場合は、ｘ＝±１になる。

これを基調に数を表現すれば、ｘの正方向の整数＝正数とxの負の方向の整数＝負数を表す数直線を生み出すと考えられる。

今度は、

ｘ^２＝−１

の解とする。この場合は、ｘ＝±i =±√{-１}になる。これを基準に考えれば、虚数の世界が生まれる。

何を言っているかというと、こういうｘを桁を表すものとして見た場合に、xの多項式で表される数は必ずその基調となる数で表現される（＝還元される）という意味である。

では、もうちょっと複雑な式

x^2=ｘ＋１

の場合はどうか？

この場合は、ｘは有名なフィボナッチ数という無理数

τ＝(1 ±√{5})/2≒1.618...., -0.618...

になる。つまり、τ^2=1＋τ。

これはτを、２進法や３進法やｐ進法の桁を表す２，３，ｐのようなものであると考えるということにすると、自動的に桁が落ちることを意味する。つまり、τ進法である。

たとえば、τ進法の

{1０1} =τ^２＋１＝１＋τ＋１＝２＋τ＝{１２}

のように書ける。

つまり、τ進数の場合、どれほどベキの指数が大きな数があったとしても、最終的にはτの１次の数に還元できるのである。

これはどれくらい計算を簡単化できるのだろうか？

ｘ^３＝１

の場合ならどうか？

ω^３＝1の解である。ω＝１とω^2+ω+1=0の解ω={-1±i √{3}}/2。

これは巡回群の問題であり、３回対称群である。これは菊池定衛門先生の本の最後の例である。

この場合は、すべてのxの多項式はxの２次式で表されるのである。

つまり、数を表現する場合、その桁数が増える理由は、その基調になる数が何かの多項式の解ではないからである。

すべてを三回対称群におとして計算するという手法であれば、３本指でも計算できるかもしれない。

かりに黄金数進法（τ進法）で計算する宇宙人がいたとして、我々のもつ１０進法の数学とどうすれば、お互いの計算結果を対応させることができるのだろうか？

我々の計算のすべてをτ進法で同じことができるだろうか？

とまあ、たまに私はこんなことにとらわれるのである。

まあ、暇つぶしである。ひつまぶしではない。

弥栄！