黄金率と白銀率の秘密：美しさｖｓ可愛さの秘密だったのか！？

トランプの黄金率

みなさん、こんにちは。

いまこっちは台風１８号の悪影響で、大風と大雨のさなかにある。特に高知県はやばい。

昨日今日と高知はかなり集中豪雨となっている。要注意である。

これは、南方の後々新しい台風になりそうな熱帯低気圧から朝鮮半島をすぎた台風１８号へ大量の湿気を伴った熱波が送られて線状降雨帯を形成したからである。昨年や今年の長崎や九州北部を襲ったものと同様の事情である。

そんなわけで、外出もジョグもままならないから、最近読み始めた知人の数学の教科書を読んでいる。先日紹介メモしたこれである。

この上巻をまず読んでいるわけだが、この教科書の中頃にフィボナッチ数の話が出てくる。

というわけで、これに関する話題をエッセイメモしておこう。

中学か高校の数学で、こんなことを習った経験があるかもしれない。

ルート1＝√１＝1
ルート1＝√２≒一夜一夜に人見頃=ひとよひとよにひとみごろ＝1.41421356
ルート3＝√３≒人並みに奢れや＝ひとなみにおごれや＝1.7320508
ルート4＝√４＝2
ルート5＝√５≒富士山麓鸚鵡泣く＝ふじさんろくおおむなく＝2.2360679

実際にそれぞれを二乗すると、

1.41421356✕1.41421356＝1.999999999≒２
1.7320508✕1.7320508＝2.999999973≒３
2.2360679✕2.2360679＝4.999999653≒５

となり、かなり厳密な数字に近い。

さて、その中で、√2と√5はしばしば自然現象の中に現れる。特にその頻度が一番高いものが√５をもじって作られる

黄金率Φ＝(1+√5)/2＝1.618033988...＝Φ+

である。

これは２次方程式：ｘ^2=x+1の解である。２次方程式だから、もう１個解がある。これは

Φ-＝(1-√5 )/2＝-0.6180033988

山田弘明さんの第７章には、これが人工物やら自然物やら地球上の色んな場所やモノに出てくるという話がある。

ギリシャのパルテノン神殿から、松ぼっくりの鱗片

やひまわりの種の並び

やミクロな生命パーツのリボソームに至るまで黄金率とそれに関連する数列であるフィボナッチ数が出てくるのである。

フィボナッチ数というのは、１つの数列である。

１，１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，。。。

といつも前に出た２つの数字を足して次を作るという数列である。

これは、高校の数学のように書けば、

Fn+1= Fn + Fn-1, F0=1, F1=1

となる。つまり、

F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8,
F6=13, F7=21, F8=34, F9=55, F10= 89,　。。。

非常に面白いのは、この数列の一般項Fnが√５を使って表現できるのである。

Fn=[(Φ+)^n ー(Φ-)^n]/[Φ+ ーΦ-]
=「(１＋√５)^n ー(１ー√５)^n]/(√５×２^ｎ)

また、FnとFn-1の比はΦに近づく。

Φ≒Fn/Fn-1

私のユタ大時代の博士論文はこの数列に関連した問題であった。

松ぼっくりの鱗片やひまわりの種の並びを端からもう端まで数えていくと、どういうわけかきちんとどれかのフィボナッチ数になっているのである。

おもしろいことに、そして最近私が知ったように、生命細胞のリボソーム

は主に大小２つの亜粒子（最近ではサブユニットと呼ぶ）が結合し、RNAとその周りにくっついたタンパク質から構成されていることが証明されたが、親指と人差し指で指パッチンするようにして動くのだ。

その大亜粒子（大サブユニット）は２つのRNAと３４個のタンパク質モデュールでできているが、一方の小亜粒子（小サブユニット）の方は１つのRNAと２１個のタンパク質モデュールからできている。

したがって２つを合体させてできたリボソームには、３つのRNAと５５個のタンパク質モデュールがあることになる。

ここにも、１，２，３，。。。、２１，３４，５５，。。。なるフィボナッチ数が出てくるのだ。

リボソームがないと生命は自分を作るタンパク質を作れない。したがって、リボソーム自体を作るタンパク質も作れない。

最小の生命体はいまのところマイコプラズマだと考えられているが、マイコプラズマはたくさんのリボソームがある。

そんな中にもフィボナッチ数は存在するわけだ。

さて、話を変えて、√２にまつわるものがある。この√２は数学の世界では、黄金率の次のものとして、白銀率と呼ばれる。シルバーミーンとも呼ばれるものである。

(1+√５)/2がどうして黄金率と呼ばれ、√２がどうして二番位の白銀率と呼ばれるのかというと、これは連分数展開という数学技法を用いると分かる。

これは、

Φ^2=Φ＋１

の両辺をΦで割ると

Φ=１＋１/Φ

になるが、この右辺のΦにその式全体を代入すると

Φ=１＋１/(１＋１/Φ)

となる。これをどんどん繰り返して無限に行くと、

Φ=１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/Φ)))))
＝１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/(１＋１/(1+...)))))

となるが、これを

Φ=[1,1,1,1,1,1,...]

とかくと、すべて連分数に１しか出てこないことから、第一位を意味する黄金をあてたのである。

一般に２つの実数の比で表されるどんな数も連分数に展開できる。

X=α/β
=[a, b, c, d, e, f, g, ...]
=a＋１/(b＋１/(c＋１/(d＋１/(e＋１/(f＋１/(g+...)))))

ここではa, b, c, d, e、f，g，。。。はすべて自然数である。

そこで、√２を連分数で表すと

√２=[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]

=1＋１/(2＋１/(2＋１/(2＋１/(2＋１/(2＋１/(2+...)))))

となることから、これがシルバーミーンと呼ばれるようになったらしい。

もし上のΦのようにしてこれを求めるにはこうする。

√2=1+(√2-1)

=1+1/(1+√２)=1+1/(2+(√２-1))

したがって、

√2-1=1/(2+(√２-1))

この右辺の√２-1に右辺全体を代入して、

√2-1=1/(2+(1/(2+(√２-1))))＝1/(2+(1/(2+(1/(2+(√２-1))))))=...

=1/(2+(1/(2+(1/(2+(1/(2+(1/(2+...)))))))

=[2, 2, 2, 2, 2, ...]

したがって、

√2=[1, 2, 2, 2, 2, 2, ...]

このシルバーミーンに１を足した1+√2は

1+√2=[2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]

であり、これは

Fn+1= ２Fn + Fn-1, F0=1, F1=1

で作られる数列の比から、

1+√2≒Fn / Fn-1

と近似できる。

さて、面白いのは、この黄金率と白銀率にはどうやら西洋人と日本人の美意識に関わる問題があるらしいということである。

西洋人が好む美しさ。これは顔貌でも建物でも体のバランスでもどうやら黄金率が好まれる。つまり、1.618...の比率が好まれる。

ところが、どうやら我々日本人は白銀比を好む。つまり、√２＝1.41421356の比率を好むらしい。

西洋人は黄金率ほど美人と考えるわけだ。

一方日本人は白銀率を美人と考える。

ちょっとした比率の違いだが、1.618と1.414の違いは大きい。見た感じが違う。

どうやらこれはマンガやカトゥーンでもそうで、西洋の漫画

はだいたい黄金率で日本の漫画の主人公はドラエモン

のように白銀率らしい。

つまり、いわゆる「可愛い」比率が白銀率だと考えれるのだ。

黄金率から白銀率へ変えると、美女も可愛くなる。

とまあ、数学とはそういうことにも定量的に答える術を与えるのである。

西洋人のペニスと日本人のペニスもどうもそんな差があるのだろうか？

実に興味深い。